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Quelle est la racine carrée de 36 ?

                                                           La racine carrée de 36 est 6
La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note  ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.
Une tablette d’argile datée du xviiie siècle av. J.-C. montre que les Babyloniens connaissaient la racine carrée de deux et un algorithme de calcul.
Tout nombre réel x positif possède une racine carrée qui est elle-même un nombre réel. La racine carrée d’un nombre entier n est soit un entier, soit un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu’elle ne peut être exprimée par une fraction. La racine carrée est à l’origine de la découverte de l’irrationalité, mais contrairement à une idée répandue, rien n’assure que celle de 2 fut le premier nombre irrationnel connu1. L’exemple de démonstrations par l’absurde choisi par Aristote, l’un des fondateurs de la logique est fondé sur l’irrationalité de 2 : «  Ils prouvent que la diagonale du carré est incommensurable au côté en montrant que, si l’on admet qu’il lui est commensurable, un nombre impair serait égal à un pair2. »
À la Renaissance, des mathématiciens ont été amenés à définir la racine carrée d’un nombre négatif, ce qui a conduit à l’avènement des nombres complexes. L’extraction d’une racine carrée était la cinquième « opération classique », elle est aussi perçue comme une fonction.

A square root of a number is a number that, when it is multiplied by itself (squared), gives the first number again. For example, 2 is the square root of 4, because 2×2=4. Only numbers bigger than or equal to zero have real square roots. A number bigger than zero has two square roots: one is positive (bigger than zero) and the other is negative (smaller than zero). For example, 4 has two square roots: 2 and -2. The only square root of zero is zero.
Square roots of negative numbers are not real numbers – they are imaginary numbers. Every complex number except 0 has 2 square roots. For example: -1 has two square roots. We call them  and .
The sign for a square root is made by putting a bent line over a number, like this: . We say “the square root of 4” (or whatever number we are taking the square root of).
A whole number with a square root that is also a whole number is called a perfect square. The first few perfect squares are: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225…

La nozione di radice quadrata è importante non solo per i problemi di largo interesse (in particolare geometrici) che consente di risolvere direttamente, ma anche perché, nella sua evoluzione storica, ha contribuito ad ampliare la nozione di numero, ovvero ad estendere strumenti computazionali fondamentali (introduzione dei numeri irrazionali, distinzione dei numeri algebrici, introduzione dei numeri complessi).
Quando si sono definiti i numeri reali si può definire radice quadrata principale di un numero reale non negativo  ogni numero reale non negativo  tale che
.
Questo numero , del quale si dimostrano l’esistenza e l’unicità, si indica con la scrittura . Si osserva poi che anche l’opposto  soddisfa la precedente equazione quadratica [*]; inoltre entrambe le soluzioni di tale equazione sono notevoli, in quanto danno i due zeri della parabola di equazione . È dunque opportuno definire radice quadrata di un numero reale positivo  ogni numero reale  che soddisfi la [*]. Lo zero reale possiede due radici quadrate coincidenti; ciò lo colloca sullo stesso piano dei numeri reali positivi, sebbene lo zero si possa considerare l’unico limite delle due radici quadrate  e  del numero  al tendere a 0 di questo reale. Perciò, volendo semplificare, si può dire che lo zero reale possiede come radice quadrata solo sé stesso.
Restringendo la ricerca della radice quadrata al dominio dei numeri interi positivi, si trova che solo alcuni numeri, detti quadrati perfetti, ammettono per radice quadrata principale un numero intero. Sono quadrati perfetti ad esempio, 4 che ha per radice il numero 2, e 25 che ha per radice 5; viceversa molti altri interi positivi, a cominciare da 2 e 3, non ammettono una radice intera.
Se ampliamo il dominio di ricerca ad includere i numeri razionali positivi, si trova che solo i numeri razionali che sono quadrati perfetti, ovvero che sono dati da frazioni con numeratore e denominatore entrambi quadrati perfetti, ammettono per radice principale un numero razionale positivo: 4/9 ammette per radice 2/3, ma 1/2 o 25/39 non ammettono radici razionali.
Si è quindi trovato che l’insieme dei numeri razionali presenta una limitazione operativa e si è sentita la necessità di ampliare il campo dei razionali ad un campo numerico nel quale si possa trovare una radice quadrata per ogni numero positivo.
Questo ha condotto alla introduzione dei numeri reali: se allarghiamo il dominio a questi numeri, ogni numero reale positivo (che in questo contesto viene chiamato radicando) possiede una radice quadrata dello stesso genere. È possibile dimostrare che un numero che sia la radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto o una frazione il cui numeratore e denominatore sono ambedue quadrati perfetti è un numero irrazionale, cioè un numero non esprimibile come frazione ma rappresentabile con una scrittura decimale infinita non periodica. Ad esempio è irrazionale la radice quadrata di 2; in più, l’insieme di tutti gli interi positivi non quadrati perfetti è un sottoinsieme numerabile dei numeri reali, come pure quello dei razionali, mentre l’insieme degli irrazionali è non numerabile.
Si osserva poi che nessun numero reale negativo possiede una radice quadrata reale e questo ha contribuito (v. anche Rafael Bombelli) all’introduzione dei numeri complessi. Quando si estende a queste entità la ricerca di radici quadrate, si trova che ogni numero complesso ammette due radici quadrate complesse, l’una essendo il numero opposto dell’altra. Particolarmente importanti sono le radici quadrate di -1, i detta unità immaginaria e -i. In generale si trova che il numero espresso in forma polare come

possiede due radici complesse date da
.
Per esprimere questi numeri complessi può essere conveniente estendere agli argomenti complessi la nozione di radice quadrata principale e la relativa notazione
,
in modo da poter dire ancora che le radici del numero complesso z sono .
Le radici del numero complesso 0 coincidono con lo stesso 0 e a tale radice si attribuisce molteplicità.
En las ciencias matemáticas, se llama raíz cuadrada de un número a cualquier otro número que elevado al cuadrado, es igual al primero (con esta definición cada número complejo admite exactamente dos raíces cuadradas (estas son iguales en módulo). A veces se abrevia como raíz, siendo su símbolo: . Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con exponente ½.
A matematikában a négyzetgyökvonás egy egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). Az a szám négyzetgyökének jele:
A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen -nak és -nak ugyanúgy  a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív.
A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány:

A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük.

From Wikipedia, the free encyclopedia
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